Beşiktaş'ın Fabri'den sonra yeni 1 numarası olması beklenen David Ospina, 31 Ağustos 1988'de Kolombiya'nın Medellin şehrinde doğdu. 1.83 boyundaki kaleci, futbola ülkesinin takımlarından olan ve tüm altyapı eğitimini aldığı Atletico Nacional'da 2005 yılında başladı.
2005'te 3 senelik profesyonel sözleşme imzalayan Ospina, henüz 17 yaşındayken takım kadrosuna girmeyi başardı.
O yıl Apertura'yı kazanan Nacional'in bir üyesi olan Ospina, 2007 yılında takımın önemli figürlerinden biri oldu ve hem Apertura'yı hem Completion'u kazanarak Bicampeon ünvanını kazandılar. Ospina, Atletico Nacional'daki başraılı performansının ardından Nice'in dikkatini çekti ve 2.4 milyon Euro'ya transfer oldu.
Nice ile 4 yıllık sözleşme imzalayan Ospina, Lionel Letizi'nin yedeği olarak kadroya katılmıştı. Ospina'yı transfer ettiren dönemin Lens Teknik Direktörü Frederic Antonetti, "Mükemmel bir kaleci olmak için tüm özellikleri var. Yan toplarda iyi, havada iyi ve yerde mükemmel." ifadelerini kullandı.
Hugo Lloris'in Lyon'a transfer oluşunun ardından Nice'ye geçen Ospina, yedek olarak düşünülmesine rağmen eldivenleri Letizi'den 9. haftada aldı ve hiç bırakmadı. Geçirdiği ufak sakatlıkla 5 hafta oynayamayan Ospina, sezonu Nice as kalecisi olarak tamamladı. O sezon 25 maçta forma giydi ve 6'sında kalesini gole kapadı.
Bir sonraki sezon olan 2009/10'da tüm sezon kaleyi koruyan Ospina, 37 maçta 55 gol yedi, 10 maçta kalesini gole kapattı. Sonraki 3 sezonda da Nice'nin as kalecisi olan Ospina, Fransa'daki kariyerini 199 maçta 237 gol yiyip 65 maçta kalesini gole kapatarak noktaladı.
2014 Dünya Kupası'nın sürprizlerinden biri olan Kolombiya'da James Rodriguez, Juan Cuadrado ile birlikte en çok dikkat çeken isim olan Ospina, o yaz Arsenal'e transfer oldu. Arsenal, Ospina için 4 milyon Euro bonservis ödedi.
2014/15 sezonunda Wojciech Szczesny ile birlikte Arsenal kalesinde dönüşümlü oynayan Ospina, 18 Premier Lig, 3 Şampiyonlar Ligi, 1 Federasyon Kupası ve 1 Lig Kupası maçında forma giydi. 23 maçta 17 gol yiyen Ospina, 10 maçta kalesini gole kapatmayı başardı.
Bir sonraki yaz Chelsea'den Petr Cech'in transfer edilmesi Ospina'nın aynı sıklıkla formayı görememesine neden oldu. 2015/16'da 4 lig maçında forma giyen Ospina, 5 maç gol yedi, 2 maçta kalesini gole kapattı. Şampiyonlar Ligi'nde oynanan ilk 2 grup maçında kaleyi koruyan Ospina, Arsenal'in Dinamo Zagreb'e 2-1, Olimpiakos'a 3-2 yenilmesinin ardından eldivenleri Cech'e teslim etti.
2016/17 sezonunda ligde forma yüzünü hiç göremeyen Ospina, 8 Şampiyonlar Ligi maçının hepsinde kalede yer aldı. 6 grup maçının 2'sinde kalesini gole kapatan Kolombiyalı, kalan 4 maçta 6 gol yedi. Son 16'da takım olarak Bayern Münih'e karşı direnemeyen Arsenal'de Ospina da çare olamadı ve 2 maçta toplam 10 gol yedi.
Geçen sezon biraz daha fazla forma şansı bulan Ospina, ligde 5, Avrupa Ligi'nde 10, Lig Kupası'nda 5, Federasyon Kupası'nda 1 maçta forma giydi. Toplam 21 maçta 20 gol yiyen Ospina, 9 maçta kalesini gole kapattı. Bu yaz Bernd Leno'nun da alınmasıyla birlikte ayrılık kararı alan Ospina, 2018 Dünya Kupası'nda da başarılı bir performans gösterdi.
David Ospina, 2012 yılında Kolombiyalı model Jessica Sterling ile evlendi. Ayrıca, David ve Jessica'nın Dulce Maria adından bir kızları ve Maximilano isimli bir kızları oldu.
Ospina'nın kız kardeşi voleybolcu Daniela Ospina, İspanya'nın VP Madrid takımında forma giyiyor. Daniela Ospina, ayrıca James Rodriguez ile uzun süredir aşk yaşıyor.